TEORIA HAOSULUI

Se considera ca teoria haosului se bazează pe o paradigmă. Începând cu Newton si alţi mari oameni de ştiinţa, matematicieni, fizicieni, toţi specialiştii perioadei mecaniciste s-au bazat pe ideea ca lumea este uniforma, este ordonată şi principial predictibilă. Se presupunea, că există si poate fi găsita o lege universală şi cu o condiţie iniţială sa putem prezice viitorul. Aceasta este premiza de la care se pleacă spre a cunoaşte realitatea pe timpul lui Newton si care ulterior a devenit un mod de gândire pe care îl avem fără sa ştim, mai mult sau mai puţin, cu toţii. Însa, când ne uitam in jur, la scara pe care o percepem, putem spune ca natura de fapt înseamnă dezordine, întâmplare, neregulat.
Am fost învatati sa reducem natura la un model. În cazul Teoriei haosului, acest model este un sistem dinamic. Daca studiez un fenomen vreau mai întâi sa găsesc o regula, ce poate sa descrie modul în care evoluează fenomenul si apoi alegem o condiţie iniţiala. Având aceste doua elemente putem alcătui un sistem dinamic si deci spunem ca am ataşat un model fenomenului studiat. Aceasta este modul în care se lucrează în matematica si în fizica. Alegem o ecuaţie si folosim o condiţie iniţiala pentru a vedea cum evoluează in timp soluţiile ecuaţiei.
În cadrul acestui concept de uniformitate, reproductibilitate, totul avea la baza ideea de liniaritate. Neliniaritatea a fost înlăturata, deoarece, în general, ecuaţiile neliniare si sistemele de ecuaţii neliniare nu pot fi rezolvate uşor, nu se pot găsi întotdeauna soluţii analitice. De aceea, s-a format treptat o atitudine ce a devenit "de bun simt": simplificarea lucrurilor prin alegerea unor modele liniare (neglijarea aspectelor neliniare ce păreau a fi doar aproximaţii mai fine ale fenomenului deja surprins de aspectul linear).
În şcoli, în general, s-a introdus ideea ca ecuaţiile neliniare sunt nişte excepţii, de fapt, nu este aşa. Teoria haosului porneşte de la ideea ca trebuie sa căutam în natura termeni contrarii, tensiunea generata de contradicţii, de cumulare si relaxare, de invatare si uitare etc. Natura "lucrează neliniar" si implicit haotic. De exemplu, o mica întârziere a autobuzului de dimineaţa poate sa strice întreg programul din aceeaşi zi ( o adevărata catastrofă).
Liniaritatea este ca un labirint în care poţi sa gasesti o lege, pe când neliniaritatea este ca un labirint care-si tot schimba configuraţia. Cei ce intra în labirint nu ştiu niciodată cum va arata sau cum se va schimba drumul pe care pornesc.
Henri Poincaré a fost cel care a pus bazele acestui concept. În 1885, regele Oscar al II-lea al Suediei si Norvegiei, a pus un premiu pentru cel care va reuşi sa găsească o soluţie în stabilitatea sistemului solar, adică sa găsească răspuns la întrebarea: sunt sau nu stabile orbitele planetare în timp? Acest premiu a fost câştigat, 4 ani mai târziu, de către H. Poincaré, dar nu pentru ca a găsit o soluţie acestei probleme, ci pentru ca a introdus diferite concepte şi schimbări de perspectiva în matematică.
La început, Teoria haosului a fost ca un laborator în care s-au adunat cunoştinţe din diferite ştiinţe, în care matematicienii şi fizicienii, sociologi, îşi puneau aceleaşi probleme si căutau metode pentru a rezolva probleme comune.
Unealta cu care pleacă la drum Teoria haosului apelează la un sistem dinamic, adică o regula si o condiţie iniţiala. Aceasta regula, care este un sistem de ecuaţii diferentele, împreuna cu condiţia iniţiala poate sa ne dea o imagine despre ceea ce se va întâmpla în viata.
Este dificil de înţeles imediat, dintr-o simpla expunere, ce este acela Spaţiul Fazelor sau un atractor si ce legătura au aceste concepte cu teoria haosului sau cu ideea de neliniar. Dar sa încercam sa ne imaginam de exemplu un sistem de ecuaţii diferenţiale cuplate in descrierea căruia intra si nişte constante. Daca se reprezintă evoluţia în timp a lui x de exemplu (x(t)) intr-un sistem de coordonate triaxiale x y z se obţine o forma geometrică. Un fel de "ghem" fara sens dar care poate fi acum analizat ca imagine, geometric.
Putem alege si reprezentarea intr-un spaţiu mai special, teoretic format din coordonate generalizate. Acest spaţiu se numeşte spaţiul fazelor. Forma geometrica pe care aceasta evoluţie în timp o alcătuieşte în spaţiu se numeşte atractor. Aceea "încâlceala" este o imagine abstractă ce conţine multă informaţie legată de natura sistemului. Altfel spus intre imagine si sistem exista o legătura ce trebuie înţeleasă, sau ca este o alta modalitate de a vedea acelaşi lucru - sistemul de studiat.
Teoria haosului încearcă sa caracterizeze într-un fel această formă geometrică pentru ca apoi, să pot să spun câte ceva despre fenomenul fizic din spate. Teoria haosului are ca obiectiv analiza fenomenelor din natura a căror evoluţie au reprezentări ecuaţii diferenţiale neliniare.
Cea mai importanta schimbare pe care Poincaré a introdus-o este ca a pus bazele topologiei matematice care studiază formele geometrice si evoluţia acestor forme geometrice. Topologia încearcă sa găsească câteva funcţii de evoluţie a acestor forme geometrice si sa găsească echivalente, clase de echivalente. În Teoria haosului, este uşor sa spun câte ceva despre aceste forme geometrice si ce se întâmpla cu acestea.
Schimbarea s-a facut de la cantitativ la calitativ. Nu mai era studiul unor numere ci studiul unor forme geometrice. Un mare merit, a lui Poincaré a fost ca a introdus în ştiinţa importanta geometriei. Laplace a pus foarte mult accent în analiza pe formule, pe când Poincare a reintrodus intuitivul prin apelul la geometrie.
După 70 de ani Lorento a ajuns la aceleaşi concluzii legate de neliniaritate. El spunea ca teoria liniara îţi poate spune unde au loc instabilitatile, dar nu-ti poate spune care sunt efectele acestora. Pentru sistemele liniare am soluţia, pot sa prevăd ce se întâmpla in viitor, pe când la cele neliniare Lawrence a observat ca nu este aşa. Se pot face preziceri pe termen scurt, dar cum se rezolva problema prezicerilor pe termen lung?
S-a vorbit despre determinism. Asta ar fi cam aşa: ca plec din A la un moment t0 uniform (deci ştiu legea) si voi aduce la momentul t in B (o poziţie unica, strict definita). Daca plecam de la momentul t0 + cinci minute, pot, utilizând matematica si legea de mişcare sa ştiu cu precizie unde voi fi si după de trei ori timpul din exemplul precedent. Deci paradigma newtoniană ne spune că avem un fenomen determinist dacă putem face predicţii, prin intermediul unor modele liniare, ce rămân valabile si in cazul unor mici erori la aprecierea condiţiei iniţiale. Altfel spus, reproducerea unui fenomen este oricând posibila căci mă pot aştepta la cel mult o serie de mici erori.
Pentru sistemul neliniar nu mai este adevărata afirmaţia de mai sus. Ştiu legea dar nu mai pot sa fac predicţii. Rezolvarea situaţiei a fost pusa pe umerii statisticii . A apărut ideea de aleator, de hazard. Lawrence a observat ca doua stari ale sistemului foarte apropiate pot sa ajungă în timp în doua stări complet diferite, care nu mai au absolut nici o legătura intre ele. O eroare mica la început si finalul poate fi altul.
Aceasta este una din caracteristicile de baza a Teoriei haosului care se cheamă sensibilitate la condiţiile iniţiale. O mica eroare se poate propaga si se poate ajunge la un adevărat "dezastru", contrar a ceea ce pare sa ne spună bunul simt: cauze mici duc la efecte mici. Aici, in cazul sistemelor haotice, cauze mici pot duce la dezastre (catastrofe). Cel ce a pus bazele definitive ale Topologiei este Stevens May. Topologia este o ramura a matematicii care studiază proprietăţile formelor geometrice ce rămân invariante la transferuri continue reversibile, mai precis sunt funcţii bijective, continue si cu inversa continua..
Topologia are un rol important pentru ca studiind formele geometrice, eu pot sa ajung prin relaţia de echivalentă, demonstrata matematic, la rezultate din fizica, pot sa fac analiza matematica si pot vedea ce s-a întâmplat în sistem, lucru ce prezintă o mare victorie pentru stiinta si un fapt de mare utilitate. Nu mai analizez fizic legile ci analizez din punct de vedere matematic formele geometrice pe care evoluţia în timp a sistemului o alcătuiesc în acest spaţiu al fazelor si plecând de acolo, prin relaţia de echivalenta, pot sa spun cum va evolua sistemul nostru, pot sa dau anumite caracteristici.
Teoria neliniarităţii studiază cu unelte împrumutate de la alte ştiinţe, cu limbaje proprii altor stiinte. În studiul acestei teorii s-au întâlnit oameni de stiinta din multe domenii pentru a încerca sa rezolve ceea ce alţii au încercat sa înlăture.
Prima victorie pe tărâm ştiinţific legata de aceasta teorie a fost înregistrata în 1977 când oamenii de stiinta au realizat ca de fapt avem o problema importanta. Prea mult timp neliniaritatea a fost înlăturata din studii. Ne lovim prea mult în viata de zi cu zi de ea, de diversitate, în general. Sa vedem cum sa rezolvam problemele: ajungem la descrierea unei forme geometrice. S-a observat ca în unele cazuri, aceste forme capătă o structura foarte bine definita în timp si care va deveni din ce în ce mai clara.
Sa vedem cum putem caracteriza aceasta forma. S-a vorbit foarte mult de dimensiunea fractala si iată ca acum acest concept devine util si in domeniul haosului. Analiza fractala a atractorului poate dă informaţii deosebite asupra sistemului analizat
Cum fac când nu stiu nimic despre sistem? O mare victorie a fost a cercetătorilor din anii ’80 care au facut o legătura între realitate, partea practica si partea matematica. S-a completat ciclul realităţii topologice, dinamice, care însemna fizica. Concluzii venind din topologie, au facut sa ma întorc în realitatea fizica si sa trag concluzii despre fenomen. Eu de obicei ca om de ştiinţa am acces la variaţia în timp a unei mărimi. Este singurul lucru pe care pot sa-l folosesc când nu mai ştiu nimic despre sistem. De exemplu masor vibraţia solului dar nu ştiu mare lucru despre structura, mărimea sau complexitatea sistemului care îl generează.
As vrea sa aflu pentru început macat un lucru: câte sunt mărimile care-l caracterizează complet si care este sistemul de ecuaţii ataşat. Folosind aceste variaţii în timp ale unei mărimi se poate descrie matematic un spaţiu. Se poate găsi o transformare matematica care sa construiască un spaţiu si un atractor care din punct de vedere topologic este echivalent cu cel real.
Construindu-l pe acesta, pot sa îl analizez topologic, găsind invarianţi si caracteristici - date si imagini - concluzii despre cele reale.
Alta mărime foarte importanta pe care o pot ataşa evoluţiei în timp a sistemului neliniar sunt coeficienţii Leapunov. Ei descriu sensibilitatea la condiţiile iniţiale, caracteristica de baza a haosului. Aceşti coeficienţi Leapunov pot fi utilizaţi in predicţii, delimitând domenii in care se poate utiliza aproximaţia liniara si domenii in care însăşi noţiunea de predicţie nu mai este valabila. Aceste noţiuni si modele se folosesc nu numai în fizica ci si în sociologie, în evoluţia societăţii, în sistemul bursier.
Sa tragem concluzia despre ce înseamnă haosul, complexitatea, neliniaritatea.
În primul rând din perspectiva clasica înseamnă fluctuaţie, zgomot, variabilitate, schimbare – niciodată nu ştiu la ce sa mă aştept. Neliniaritatea este prezenta pretutindeni, in viata de zi cu zi si nu este ceva foarte rar, cum ar putea crede unii. Aleatorul nu înseamnă haos. Aleatorul poate fi modelat de un sistem cu foarte multe variabile, pe care niciodată nu-l voi putea controla. Haosul poate părea aleator, dar este construit din puţine variabile si permite o anumita tratare matematica noua si chiar un control. Este o dezordine specială, "născătoare" de ordine ce poate apare spontan, ca si tornada intr-o vijelie turbulenta.
O metoda de a putea separa haosul de o fluctuaţie aleatoare a permis o alta abordare, diferita de statistica, a fenomenelor neperiodice, considerate pana nu de mult ZGOMOT. Au apărut concepte noi: rezonanta haotica, rezonanta stochastica, controlul proceselor haotice sau pe scurt controlul haosului ....Schimbarea a insemnat practic o schimbare de mentalitate si s-a facut în foarte multe domenii cu aplicatii deosebit de interesante si importante economic in domenii extrem de diferite: astrofizica, electronica, sociologie, psihologie, etc.